Остров Согласия

ПОЗНАВАЯ СЕБЯ, ТЫ ПОЗНАЕШЬ ВСЕЛЕННУЮ!

Практическое применение фрактальных алгоритмов

 После открытия Бенуа Мандельбротом теории фракталов стало понятно, что данная теория способна удивительно точно описывать многие объекты и явления окружающего нас мира.

Не удивительно, что теория фракталов и фрактальные алгоритмы в частности, нашли практическое применение в очень многих областях науки и технике. Собственно о практическом применении фрактальных алгоритмов и пойдёт речь в данной статье. Фрактал-арт мы затрагивать не будем, о нём достаточно подробно написано в предыдущей статье.

 Фрактальное сжатие изображений.

Первым и очевидным применением фрактальных алгоритмов стало так называемое фрактальное сжатие изображений.Фрактальное сжатие изображений — алгоритм сжатия изображений с потерями, основанный на применении систем итерируемых функций к изображениям. (Системы итерируемых функций или просто СИФ - представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое.) Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры — до 1000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе.

Основа метода фрактального кодирования — это обнаружение самоподобных участков в изображении. Впервые возможность применения теории систем итерируемых функций к проблеме сжатия изображения была исследована Майклом Барнсли (англ. Michael Barnsley и Аланом Слоуном (англ. Alan Sloan).

Майкл Барнсли.

Они запатентовали свою идею в 1990 и 1991 годах. Фрактальная архивация основана на том, что с помощью коэффициентов системы итерируемых функций изображение представляется в более компактной форме. Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал сам Барнсли в своей книге "Фрактальное сжатие изображения". В ней введено понятие Фотокопировальной Машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. На линзы накладывается требование: они должны уменьшать в размерах проектируемую часть изображения. Кроме того, они могут менять яркость фрагмента и проецируют не круги, а области с произвольной границей.

Один шаг Машины состоит в построении с помощью проецирования по исходному изображению нового. Утверждается, что на некотором шаге изображение перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется неподвижной точкой или аттрактором данной СИФ. Collage Theorem (один из принципов фрактального сжатия) гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой СИФ. Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении.

Наиболее известны два изображения, полученных с помощью СИФ:  треугольник Серпинского и папоротник Барнсли.  Первое задается тремя, а второе - пятью аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, линзами). Каждое преобразование задается буквально считанными байтами, в то время, как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.

Папоротник Барнсли (слева) и треугольник Серпинского (справа).

   

 Становится понятно, как работает архиватор, и почему ему требуется так много времени. Фактически, фрактальная компрессия - это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований.

В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное число раз, не позволит добиться приемлемого времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.

 Применение фракталов в медицине.

На данное время фракталы находят и вероятно будут находить применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д. 

Примеры фракталоподобных структур в организме человека: бронхи, сосуды, мышцы.

  

Поэтому учёные задумались можно ли применять фрактальные алгоритмы для диагностики или лечения каких-либо заболеваний? Оказывается возможно. Например теория фракталов может применятся для анализа электрокардиограмм. В последние годы в развитых странах, несмотря на очевидные успехи в разработке новых лабораторных и инструментальных методов диагностики и лечения сердечно-сосудистых заболеваний, продолжается их рост. Периоды биоритмов , и, в частности, сердечного ритма, длительностью порядка часа, суток и более, можно изучать традиционными методами гистограммного или спектрального анализа. Однако оценка хроноструктуры величины и ритмов фрактальной размерности, индексов Херста позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний.

 Пример кардиограммы. 

Также фракталы могут  использоваться (пока на стадии успешных экспериментов) в обработке медицинских рентгеновских изображений.

 Пример рентгеновского снимка.

Рентгеновские снимки обработанные с помощью фрактальных алгоритмов дают более качественную картинку а соответственно и более качественную диагностику!!

 

 

 

 

 

 

Еще одна область в медицине где активно могут применятся фракталы - это гастроэнтерология.  До настоящего времени и зачастую по сей день для диагностики заболеваний ЖКТ используются зондовые методы, которые связаны с необходимостью введения различной толщины зондов, что неприятно как для больного, так и для медперсонала. Кроме того, подобная техника проведения исследований значительно сужает объем их применения ввиду невозможности использования у соматически тяжелых больных, у больных в раннем послеоперационном периоде и т.п. Именно этой причиной объясняется не прекращающийся интерес физиологов и клиницистов к изучению моторно-эвакуаторной деятельности желудка и кишечника, а также к разработке новых методов, позволяющих адекватно, не только качественно, но и количественно оценивать интенсивность и характер моторной активности различных отделов ЖКТ. В качестве дополнительных методов исследования МЭФ применяются методы, основанные на измерении электрической активности органов. Исследования биоэлектрической активности органов ЖКТ положили начало созданию нового метода исследования в медицине, получившего название электрогастроэнтерография.  Электрогастроэнтерография — метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.

Пример электрогастроэнтерограммы.

Он основан на регистрации изменений электрического потенциала от органов ЖКТ, то есть снятие электрогастроэнтерограмм (ЭГЭГ). Применение фрактального анализа к получаемым биоэлектрическим сигналам от органов, позволяет эффективно судить о моторной функции органов и ЖКТ и успешно диагностировать различные заболевания.

 

           

 

Также ещё необходимо упомянуть о недавнем открытии американских учёных о том, что если составить карты адгезии (адгезия (от лат. adhaesio — прилипание) в физике — сцепление поверхностей разнородных твёрдых и/или жидких тел) поверхностей нормальных и раковых клеток, то окажутся что эти карты имею разную фрактальную размерность. Возможно это открытие в будущем поможет открыть новые эффективные методы диагностики и лечения онкологических заболеваний.

Карты адгезии поверхностей раковых и нормальных клеток

 

 

 

 

 

 

 

Применение фракталов в естественных науках.

Применение фракталов в естественно-научных дисциплинах чрезвычайно огромно. Если описывать всё, то не хватит и целой книги. Поэтому остановимся на некоторых самых интересных аспектах.

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий.

Также фрактальный анализ помогает в поиске и разработке месторождений полезных ископаемых, распределение которых очень часто происходит по фрактальному механизму. Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.

Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.

В физике фракталы применяются ещё шире. Например в физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, различных аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.

Пример твёрдого тела - кристаллы.

 

 

 

 

 

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем.  При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Турбулентность.

 

 Применение фракталов в телекоммуникациях.

В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны – относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств. На изображении выше пример фрактальной антенны.

Также в сфере сетевых технологий было проведено множество исследований показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации.

 Фракталы как элементы визуализации и спецэффектов.

Фракталы притягивают и завораживают своей красотой и бесконечностью. Именно поэтому (но и не только) фракталы очень часто используют для создания различного рода визуализаций, видеоинсталляций, создания спецэффектов в компьютерной графике и т.д.

Начнём пожалуй с игр. Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример Minecraft), где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Этот способ довольно эффективно зарекомендовал себя. Дело в том, что настоящие природные объекты имеют в основе своей фрактальную структуру. Взяв это на вооружение, программисты предприняли попытку создать компьютерные ландшафты на основе фрактальных алгоритмов. Наблюдая сегодняшнее многообразие игр, где можно наблюдать красивые природные ландшафты, можно сделать вывод, о том, что это им с успехом удалось. Более того создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.

Моделирование ландшафта на основе фрактальных алгоритмов с помощью программы Fractal Landscapes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скриншот игры Minecraft.

Не обходится без фракталов и в кино. По сути в кино для создания различных фантастических пейзажей, как и в играх используются тот же принцип. Действительно, зачем каждый раз создавать новое дерево или гору, тратя на это кучу времени, когда всё это можно во много раз быстрее сделать с помощью компьютерных программ работающих на фрактальных алгоритмах. Интересный факт: в известном космическом хорроре Ридли Скотта "Чужой" в эпизоде когда команда спускается на поверхность планеты, монитор в корабле передаёт изображение поверхности планеты в виде сетки. Как раз таки это изображение и было создано при помощи фрактальной геометрии. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэфффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д.

Теперь немного затронем тему фрактальной анимации. Фрактальные изображения, созданные в различных генераторах необычайно красивы. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище. В первую очередь здесь стоит упомянуть о ресурсе Electric sheep.  Electric sheep - ресурс использующий распределённые вычисления для создания фрактальной анимации основанной на алгоритме fractal flame (разработан Скотом Дрейвсом). Проще говоря на ваш компьютер устанавливается программное обеспечение, которое использует вашу машину для вычисления и рендера фрактальной анимации, одновременно с этим загружая и демонстрируя вам уже готовую фрактальную анимацию в виде так называемых "живых" обоев. При этом эти самые обои сохраняются на компьютере в определённой папке и их можно оттуда вытащить, чтобы затем использовать для своих целей, например в видеомонтаже (правда длина роликов коротковата - 5 секунд). Но имея в своём распоряжении программу Апофизис и скрипт к ней  Apophymator, вы сможете без особого труда создавать свою анимацию (благо уроков по этой теме в сети множество) сколь угодно длинную, главное чтобы ваша машина была достаточно мощной.

Скриншоты анимации Electric sheep:

Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют и виджеи в своих видеосетах. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки. Для этого используются так называемые программы виджеинга  (например Resolume). Примеры фрактальной анимации анимации из программы Resolume:

Фрактальную анимацию в качестве визуализации используют разработчики программ напрямую не относящиеся к фракталогенераторам. К примеру хорошо известный проигрыватель Winamp имеет в своём наборе большое количество визуализаций (плагин milkdrop) в которых явно прослеживаются элементы фракталов (например анимированное множество Жюлиа). Скриншоты визуализаций в плагине milkdrop для проигрывателя Winamp:

Итак, даже проведя сей небольшой обзор, можно с уверенностью сказать об огромном практическом применении фракталов и фрактальных алгоритмов на сегодняшний день. Спектр областей где применяются фракталы очень обширен. И наверняка в ближайшем обозримом будущем, перечень областей где будут применятся фракталы будет только пополнятся!!!

Оригинал статьи можно прочесть в мартовском номере журнала Компьюарт.

http://www.compuart.ru/

Представления: 5553

Ответы на эту тему форума

Фракталы в геологии

Одно из понятий о фракталах, которое ввел в современную науку французский математик Бенуа Мандельброт, следующее:

фракталы характеризуются сосуществованием различимых черт любого допустимого линейного масштаба, от нуля до размера самого объекта или его части, заключенной в рассматриваемом объеме. 

Это понятие созвучно представлениям о мире, в котором явления различных пространственных и временных масштабов, от самых микроскопических до самых гигантских, отличаясь в частностях, повторяют друг друга в своих главных чертах. Самоподобие, атрибут фрактальной геометрии, встречается в природе повсюду.

Фрактальные понятия "наводят мосты" между науками о Земле, математикой и другими отраслями знаний, которые в совокупности изучают с разных сторон одно и то же: природу – единую в многообразии своего проявления.

Вот и в случае с данной статьёй фракталы навели мосты между двумя науками - геологией и математикой. Геометрическое описание объектов в геологии нашло отражение в таких базовых понятиях как морфология, структура, текстура, дислокация и многих других. По традиции основой интуитивного понимания геометрии геологических структур служат Евклидовы фигуры: прямые, окружности, сферы, плоскости и т.д., а любые отклонения от этих форм объясняются некими деструктивными процессами (складчатость, разломы и пр.). Такой подход, конечно, не совершенен.

В 1975 году французский ученый Бенуа Мандельброт произвел революцию в геометрии, введя понятие фрактала (от латинского fractus – «дробный») для обозначения нерегулярных, но самоподобных фигур, которыми он занимался. Его, ставшая уже классической, работа "Фрактальная геометрия природы" открывается следующими словами: " Почему геометрию часто называют "холодной" и "сухой"? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярные и фрагментированы, что по сравнению с евклидовыми фигурами - термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня".

  

«Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами».
Если говорить в терминах естествознания, появилось новое удачное приближение к Природе на языке математики, хотя идею самоподобия малого в большом давно высказывали философы. Интересно - философы опережают конкретные математические разработки. 
В 1983 году Б. Мандельброт писал: «Ученые будут поражены и восхищены, обнаружив, что не только те несколько форм, которые они называют словами зернистый, гидроподобный, прыщеватый, рябой, разветвленный, водорослеподобный, странный, запутанный, извилистый, волнистый, клочковатый, морщинистый, но и им подобные отныне можно будет строго и уверенно рассматривать количественным образом».
Эти слова, так знакомые геологам, в современной математике объясняются теорией фракталов – плодотворно развивающейся области знаний, охватывающей колоссальное количество объектов, состоящих из частей, которые в каком-то смысле подобны целому – самоподобны, - причем это подобие может быть как геометрическим, так и статистическим.

 

Действительно, очень многое в Природе характеризуется бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Так, дерево имеет ветви, от которых отходят ветви поменьше, от тех - еще меньше и так вплоть до самых тонких отростков. Если сфотографировать само дерево и ветки разных размеров, убрать все, что говорит о масштабе изображений, и сравнить их друг с другом, скорее всего, мы не сможем определить истинное соотношение этих объектов. Точно так же ведут себя речные сети на картах разного масштаба или, скажем, дендриты. Еще одним типом фрактальных объектов являются горы, форма пиков и конфигурация цепей которых повторяются в очень широком интервале масштабов.

Топология рельефа и речных сетей.

Тот факт, что береговые линии континентов не могут быть представлены в виде гладких кривых с соответствующей размерностью, равной единице, ещё в 1939 году установил английский метеоролог Л.Ф. Ричардсон при попытке как можно более точно определить периметр Британии. Оказалось, что если измерять длину L береговой линии этого острова с последовательно уменьшающимся раствором r, то она будет возрастать по степенному закону в соответствии с формулой:

L(r)~r-0.25

С этого факта и начал свои исследования Б. Мандельброт – создатель фрактальной геометрии. 

Впоследствии было показано, что подобным образом ведут себя многие, если не все прочие контуры земного рельефа: изолинии высот вообще и береговые линии в частности, очертания пещер и еще многие другие. Все они являются объектами, промежуточными между линией (D=1) и поверхностью (D =2), хотя топологическая размерность как и любых линий равна единице. Были подсчитаны фрактальные размерности побережий: Британия – 1.24, Австралия – 1.1, Южная Африка – 1.04, Япония – 1.4, Норвегия – 1.5 . Как и следовало ожидать, большая визуальная извилистость выражается большим значением D. Фрактал – мера «неправильности».

Любой топографический профиль непрерывно формируется динамическими процессами разрушения и созидания, поэтому можно предположить, что он также является фракталом. Этот вопрос был изучен и по данным Вадковского В.Н. и Захарова В.С.: район Гималаи-Тибет имеет размерность 1.67, южные районы озера Байкал – 1.674, Центральная Африка – 1.704, Северная Атлантика – 1.484 и т.д. А высокая расчленённость рельефа говорит о интенсивной эндогенной подпитке этого района. Это очень важное следствие теории фракталов, дающее геологам количественно сравнивать тектонические режимы регионов.

Помимо геометрии изолиний рельефа интересно изучение фрактальной размерности речных сетей. По теореме Онсагера (Теорема имеет ряд разных формулировок, приведём одну из них, не содержащую математических формул: для закрытой системы (то есть, не обменивающейся энергией с внешней средой), при возможности развития процесса по нескольким направлениям, реализуется тот из них, который обеспечивает минимум рассеяния энергии, то есть минимальный прирост энтропии.), система стремится к минимизации диссипации энергии. Поэтому, по мнению исследователей, речная сеть, как диссипативная система (т.е. система в которой энергия упорядоченного движения с течением времени убывает за счёт диссипации, переходя в другие виды энергии) имеет фрактальную структуру, как энергетически наиболее выгодную.

Фрактальность геологических тел: от кристаллов до залежей полезных ископаемых.

Дендриты – классический пример фрактальной организации минерального индивида. Переходя вверх по иерархии литосферы можно отметить фрактальность структур и текстур горных пород. Некое самоподобие выявляется в друзах и других производных геометрического отбора.

 Дендриты оксидов марганца.

Такие сложные объекты как брекчии (Брекчия (итал. breccia) — горная порода, сложенная из угловатых обломков (размерами от 1 см и более) и сцементированная. Другой распространённый тип грубообломочных пород — конгломерат — отличается от брекчии окатанной формой обломков) могут быть самоподобны в интервале масштабов не менее пяти порядков, а за кажущейся хаотичностью их строения просматриваются строгие закономерности.

 Брекчия

Последнее хорошо иллюстрирует классический фрактал «салфетка Аполлония», подробно рассмотренный Б. Мандельбротом во «Фрактальной геометрии Природы». Его построение начинается с трех касающихся окружностей произвольного диаметра, между которыми будет заключен округлый треугольник с углами в 0 градусов. В этот треугольник вписывается окружность наибольшего возможного диаметра, образующая ещё три округлых треугольника меньшего размера. Бесконечное повторение описанной процедуры порождает «салфетку Аполлония». Интересно, что большие области океанических льдов фрагментируются подобно каскаду Аполлония. Даже был сформулирован «эффект расплывающейся льдины»: каждый фрагмент, невзирая на его размеры, может быть с достаточной долей уверенности составлен с соседними, пусть и достаточно удаленными фрагментами. Согласно теории неравновесной фрагментации, образование фрактальной делимости горных пород обусловлено тем, что вероятность разрушения неоднородной среды возрастает, когда взаимодействуют обломки одинакового размера (т.е. вероятность того, что крупный обломок раздавит мелкий и, тем более, наоборот, намного ниже, чем вероятность взаимного разрушения близких по размеру пород). В результате, близкие по размеру соседние обломки разрушаются и никакие два одинаковых фрагмента не встречаются совместно.

Слоистость и метаморфическую полосчатость можно сравнить с чередованием случайных множеств Кантора разных минералов. Ученые делают успешные попытки применить фрактальную геометрию для анализа сложности строения месторождений полезных ископаемых.

Фрактальные характеристики процесса разрушения горных пород.

Изучая процессы разрушения горных пород, исследователи пришли к выводу, что данный процесс нелинейный. Закон Гука (Закон Гука — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) F=-kx) действовал только на начальном этапе деформации. При достижении некоторого порогового значения, линейный закон переставал действовать, и происходило перераспределение напряжений (разрыв связи), результатом которого становилась разветвленная система трещин. Эксперименты проводились с двумя видами деформаций, встречающихся в Природе – растяжение и сдвиг. Характерные конфигурации трещин в обоих случаях имели фрактальную структуру с размерностью 1.62-1.64. «Фрактальная природа трещин свидетельствует о непредсказуемости направления развития трещин, а равенство фрактальных размерностей систем трещин при растяжении и сдвиге говорит о том, что, изучая направления трещин, нельзя определить, каким типом внешнего воздействия это вызвано». «Естественные границы разделов (трещины-разломы-рельеф) имеют фрактальный характер».

Фрактальность трещин при: а – растяжении; б – сдвиге (по данным Вадковского В.Н., Захарова В.С.)

 

Фрактальные характеристики сейсмичности.

По данным современных каталогов землетрясений разными авторами определена фрактальная природа сейсмического режима различных регионов. Этот вывод сделан на основе анализа графика повторяемости землетрясений (зависимость количества землетрясений от их магнитуды). По данным Вадковского В.Н. и Захарова В.С., Курило-Камчатский район – магнитуда (M) 4.4 – фрактальная размерность – 1.509; Суматра-Филлипины – M=4.4, D=1.439; Альпийская Европа – при М=2.1, D=1.929 и т.д.

Фрактальное распределение очагов землетрясений области Центральной Америки (по данным Вадковского В.Н., Захарова В.С.)

 

 

 

 

 

Фрактальное строение разломных сетей определяет особенности фрактальной временной динамики землетрясений и наоборот. «Приведенные значения фрактальной размерности сейсмичности свидетельствует о единстве процесса взаимодействия блоков геологической среды вне зависимости от конкретного механизма тектонической деформации».

А.А. Наймарк в своей статье «Фрактальность геологической среды и проблема прогнозируемости сейсмогенного макроскалывания» делает вывод невозможности прогноза землетрясений на основе традиционной модели геологической среды (квазисплошной, несамоподобно структурированной и т.д.). Т.к. по последним научным данным литосфера глубоко иерархизованная (многоуровневая), самоподобная, глубоко дискретная с фрактальной структурой среда. Необходимы новые идеи в этой области.

Геофизическое заключение.

С точки зрения современной физики, открытая сложная система в процессе эволюции неизбежно приходит к состоянию самоорганизованной критичности, для которого характерна иерархическая организация неоднородностей (фрактальность) и степенные законы во временных распределениях меняющихся параметров. И земная кора в целом, и отдельные её элементы, относятся к классу подобных систем. Соответственно, мы находим фракталы в различных геологических структурах на различных пространственных уровнях и получаем фрактальные ряды геофизических данных.

 

По материалам сети Интернет. Также в статье была использована информация из курсовой работы "СИНЕРГЕТИКА ГЕОЛОГИЧЕCКИХ СИСТЕМ", автор О.Савчук, кафедра динамической геологии геологического факультета МГУ.

 

Фундаментальный принцип, однако..!

диссипативная система (система в которой энергия упорядоченного движения с течением времени убывает за счёт рассеяния, переходя в другие виды энергии) имеет фрактальную структуру, как энергетически наиболее выгодную.

Вот оно в чем дело-то..! Матушке-природе энергетически так наиболее выгодно существовать..!

Ух ты, Валера, как ты размахнулся! Рада! И надо будет прочесть внимательно этот матерал, полезное знание. Пока же пробежала наскоро. Уткнулась в слова "интерируемые функции". Из универа вынесла понятие интеГрируемых функций - это сложение площадей под каждой точкой кривой, извилистой линии, нарисованной в осях координат. Площадь под всей кривой и будет ее интегралом. А что такое интерируемая функция? Впервые слышу. Вроде бы это не опечатка в тексте.

Я поняла, что это функция, с помощью которой можно получить уменьшенную копию чего-то (задавая некий коэффициент уменьшения). Например, можно сжать изображение и вместо гигабайтов получить мегабайтную копию приемлемого качества...

Аделина сказал(а):

... А что такое интерируемая функция? Впервые слышу. Вроде бы, это не опечатка в тексте.

А в Википедии нашла такое толкование явления Интериоризации:

Интериориза́ция (от фр. intériorisation — переход извне внутрь и лат. interior — внутренний) — формирование внутренних структур человеческой психики посредством усвоения внешней социальной деятельности[1], присвоения жизненного опыта, становления психических функций и развития в целом. Любое сложное действие, прежде чем стать достоянием разума, должно быть реализовано вовне. Благодаря интериоризации мы можем говорить про себя, и собственно думать, не мешая окружающим.

Благодаря интериоризации психика человека приобретает способность оперировать образами предметов, которые в данный момент отсутствуют в его поле зрения. Человек выходит за рамки данного мгновения, свободно «в уме» перемещается в прошлое и в будущее, во времени и в пространстве.

Животные такой способностью не обладают, они не могут произвольно выходить за рамки наличной ситуации. Важным орудием интериоризации служит слово, а средством произвольного перехода от одной ситуации к другой - речевое действие. Слово выделяет и закрепляет в себе существенные свойства вещей и способы оперирования информацией, выработанные практикой человечества. Действие человека перестаёт быть зависимым от данной извне ситуации, которая определяет все поведение животного. Отсюда понятно, что овладение правильным употреблением слов есть одновременно усвоение существенных свойств вещей и способов оперирования информацией. Человек через слово усваивает опыт всего человечества, т. е. десятков и сотен предшествующих поколений, а также людей и коллективов, отдаленных от него на сотни и тысячи километров.

Из этого определения можно сделать вывод, что внешний мир, окружающий человека, и его внутренний мир фрактально взаимосвязаны!!!

Не, Лена, это другие функции, не интеГрируемые...

Уже поняла. Шутка не по адресу была.

Фракталы в экономике

Современная экономическая теория давно доказала несостоятельность и неадекватность традиционных линейных моделей поведения рынков. Практика показывает, что динамика экономических процессов и явлений носит нелинейный и, зачастую, хаотичный (непредсказуемый) характер. Это обуславливает необходимость поиска альтернативных методов моделирования с применением нестандартных математических аппаратов. 

 Практика показывает, что динамика экономических процессов и явлений носит нелинейный и, зачастую, хаотичный (непредсказуемый) характер. Это обуславливает необходимость поиска альтернативных методов моделирования с применением нестандартных математических аппаратов. На сегодняшний день существует достаточно много направлений в данной сфере экономико-математической науки. При анализе социально-экономических процессов все чаще применяются такие математические средства, как нечеткие методы, нейронные сети, генетические алгоритмы и т.п. Однако при анализе рыночной динамики ни один из этих методов не может учесть такое свойство рынка, как самоорганизация. Данную проблему, в определенной мере, позволяет решить теория фракталов.

Внедрением теории фракталов в экономику, еще с 80-х годов ХХ в., активно занимались многие западные ученые, в то время как отечественные исследователи стали рассматривать данную теорию сравнительно недавно. Применение фрактального анализа в экономике описано в трудах таких выдающиеся исследователей, как Б.Мандельброт, Э.Петерс, В. Арнольд, П. Берже, И. Помо, К. Видаль, Г. Шустер, Р. Мантень, Х. Стенли, В. Чоу, Д. Сорнетт, А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов, Н.В. Чумаченко, А.И. Лысенко и др.

  

Использование математического аппарата теории фракталов открывает новые возможности в моделировании рыночных процессов. Ключевым моментом, способствующим этому, является саморазвитие фрактала. Данное свойство характеризует фрактал, как математический объект, наиболее соответствующий системной природе социальных и экономических процессов, протекающих в условиях нелинейной динамики множества факторов внешней и внутренней сред.
В реальном мире чистых, упорядоченных фракталов, как правило, не существует, и можно говорить лишь о фрактальных явлениях. Их следует рассматривать только как модели, которые приближенно являются фракталами в статистическом смысле. Однако грамотно построенная статистическая фрактальная модель позволяет получить достаточно точные и адекватные прогнозы.

Примером одного из наиболее эффективных применений теории фракталов при моделировании рыночных процессов являетсяфрактальная модель фондового рынка. Ввиду особенностей функционирования рынка ценных бумаг, достаточно тяжело спрогнозировать динамику цен на нем. Существует множество рекомендаций и стратегий, однако лишь применение фракталов, позволяет построить адекватную модель поведения фондового рынка. В пользу эффективности применения такого подхода говорит то, что многие участники фондовых бирж тратят немалые деньги на оплату услуг специалистов в данной области.

Фрактальный анализ рынков, в отличие от теории эффективных рынков, постулирует зависимость будущих цен от их прошлых изменений. Таким образом, процесс ценообразования на рынках глобально детерминирован, зависим от "начальных условий", то есть прошлых значений. Локально же процесс ценообразования случаен, то есть в каждом конкретном случае цена имеет два варианта развития. Фрактальный анализ рынков напрямую исходит из фрактальной теории и заимствует свойства фракталов для получения прогнозов.

Основные свойства фракталов на рынке:
Рыночные диаграммы обладают фрактальной размерностью.Фрактальная размерность рыночной диаграммы всегда 1<D<2
Рыночные диаграммы обладают свойством масштабной инвариантности или скейлинга. Разные временные интервалы самоподобны.
Рыночные диаграммы всегда образуют определенную структуру, обладающую уникальными свойствами.
Рыночные фракталы обладают "памятью" о своих "начальных условиях".
 

Первым практиком, который применил фрактальную теорию при анализе финансово-сырьевых рынков, стал Билл Вильямс. Впоследствии, его метод фрактального анализа рынка широко распространился во многих странах. Этому способствовали такие его работы, как "Торговый Хаос", "Новые измерения в биржевой торговле", "Торговый Хаос второе издание". Со временем, многие невнимательные трейдеры и аналитики посчитали, что за красивым названием кроется скорее грамотный пиар ход автора, чем реальное использование фракталов на рынке. Основная ошибка, которая приводит к искажению результатов анализа заключается неправильном толковании понятия "преодоления фрактала". Неоднозначность фрактального анализа прекращается, если слово "преодоление" понимать не как прокол ценой фрактального уровня, а как пробой подтвержденный закрытием цены выше или ниже фрактального уровня

Описание рынка с помощью фракталов.

На данный момент фрактальный анализ рынка наиболее распространён на рынке Форекс. Попробуем самым простым образом объяснить как это работает. Самый базовый графический элемент рынка (здесь подразумеваются графики колебаний цен) – это прямая линия, направленная сверху вниз или снизу вверх. Каждому трейдеру (трейдер-биржевой торговец) это хорошо понятно – цена либо растет, либо падает, этот процесс происходит во времени. Таким образом, у нас появляетсяинициатор, который выглядит следующим образом:

Даже если мы возьмем движение цены в рамках одной минуты, мы все равно получим линию, которая соединяет цену открытия и цену закрытия. Генератором же для движения цены является другая распространенная структура, хорошо известная трейдеру, – «импульс-коррекция-импульс», которая выглядит, как представлено ниже:

Эти самых генераторов на рынке может быть бесконечное множество, и точек перелома может быть вовсе не две. Какую же информацию могут дать трейдеру эти фигуры? Если посмотреть на движение цены отдельного инструмента, можно увидеть, что структура генератора повторяется на всех временных масштабах инструмента (проявляет фрактальные свойства). Примем за данность, что внутригодовое движение цены представляет собой простую структуру из двух импульсов и одной коррекции как на рисунке выше. Если оба импульса и коррекцию заменить соответствующими фракталами (генераторами), мы получим следующую структуру:

Переходя все глубже и глубже, мы дойдем до минутных, а затем и тиковых графиков, на которых вновь и вновь будет проявляться базовый фрактал. Что характерно, соотношения между линиями генератора будут оставаться фиксированными на любой временной структуре. Углы между линиями генератора на минутном и месячном 
графике будет соответствовать друг другу, соотношение их длинны также. Это удивительное открытие дает нам совершенно новый взгляд на привычное движение цены.
Конечно, это понимание является упрощенным, и, по мнению самого Мандельброта, «карикатурным». Оно служит нам для описания общего принципа структуры ценового движения. Реальный рыночный генератор может быть гораздо сложнее.
В моделировании поведения рынка Мандельброт использует более сложную «мультифрактальную» модель, которая использует три измерения и так называемый «фрактальный куб». На нем мы не будем подробно останавливаться. Вместо этого рассмотрим два других наблюдения фрактальной геометрии, которые более просты для понимания и дают трейдеру 
пищу для размышлений.

Рынок имеет память.

Обширные исследования рынка хлопка привели Бенуа Мандельброта к следующему выводу: периоды высокой волатильности или «турбулентности» имеют тенденцию собираться в «кластеры». Это означает, что события, вероятность которых согласно общепринятым финансовым моделям, составляет ничтожные доли процента, во многих случаях происходят чередой - одно за другим. Это в корне не согласуется с моделью "случайных блужданий", которая во всём мире используется для управления рисками. Согласно ей, все события на рынке независимы друг от друга. Мандельброт убедительно показывает. что это не так. События на рынке имет свойство сохранять зависимость друг от друга. Он называет этот эффект - "Эффектом Иосифа", используя в качестве метафоры известную библейскую притчу о фараоне, который увидел сон о семи толстых и семи тощих коровах (семь урожайных и семь неурожайных лет).

Что же представляет собой «ценовой кластер»? Под ценовым кластером подразумевается "тренд"Тренд в экономике — направление преимущественного движения показателей. Обычно рассматривается в рамках технического анализа, где подразумевают направленность движения цен или значений индексов. Чарльз Доу отмечал, что при восходящем тренде 
последующий пик на графике должен быть выше предыдущих, при нисходящем тренде последующие спады на графике должны быть ниже предыдущих (см. Теория Доу). Выделяют тренды восходящий (бычий)нисходящий (медвежий) и боковой (флэт). На графике часто рисуют линию тренда, которая на восходящем тренде соединяет две или более впадины цены (линия находится под графиком, визуально его поддерживая и подталкивая вверх), а на нисходящем тренде соединяет два или более пика цены (линия находится над графиком, визуально его ограничивая и придавливая вниз). Трендовые линии являются линиями поддержки (для восходящего тренда) и сопротивления (для нисходящего тренда).Восходящим трендом (нарастающий тренд, бычий тренд) называется ситуация когда каждый новый локальный минимум и локальный максимум выше предыдущего.

 

Пример нарастающего тренда.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример нисходящего тренда.

 

 

 

 

 

 

Эффект «Ноя»

И, наконец, третье наблюдение Мандельброта состоит в так называемом эффекте «Ноя». Из ветхого завета мы знаем, что всемирный потоп начался неожиданно, и разрушительная сила его оказалась очень велика. Эффект «Ноя» — метафора, характеризующая рыночные развороты – биржевые панические обвалы и взлеты. Они никогда не происходят плавно, почти всегда рынок взмывает вверх или обваливается с такой силой, которую никто из инвесторов не ожидал.

Это всегда вызывает панику среди биржевой публики, которая шокирована такими движениями цены. Так, в 1987 году индекс Доу-Джонса упал на 22.6% за один день. После краха во всем обвиняли компьютерные программы, но у Бенуа Мандельброта совсем другое мнение – дело вовсе не в программах, дело в самой природе рынка. Именно внутренне присущий рынку характер обуславливает такую динамику. Эта гипотеза также является новой и не согласуется с гипотезой эффективного рынка, согласно которой рынок должен меняться плавно и последовательно. Об этом свойстве рынка следует помнить трейдерам, которые работают без «стопов», уповая на то, что рынок рано или поздно вернется к уровню открытия сделки.

Резюме, которое делает Мандельброт, состоит в следующем: рынок – очень рискованное место, гораздо более рискованное, чем принято считать. Для трейдеров риск – не источник опасности, а потенциальный источник прибыли. Если правильно использовать знания о движении цен и оказываться на «правильной» стороне риска, он будет благом, а не проклятием.

Заканчивая статью также упомянем о применении фракталов в моделировании временных рядов.  В частности, такая характеристика временного ряда, как фрактальная размерность, позволяет определить момент, в который система становиться нестабильна и готова перейти в новое состояние.

Пример временного ряда.

 

 

 

 

Таким образом, теория фракталов предоставляет качественно новый подход в моделировании экономики. Однако ее новизна и противоречивость классическим методам затрудняют ее широкое использование. Одним из основных сдерживающих факторов является хаотичность фрактальной модели, которая обусловлена исключительной взаимозависимостью ее входных и выходных параметров. Даже малейшее изменение входного параметра или мельчайшая ошибка при его задании могут привести к абсолютно непредсказуемому поведению модели. При этом ввиду недостаточно развитого математического аппарата самой теории совершенно невозможно проверить (оценить) результаты, полученные при фрактальном моделировании . Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований в экономике.

Источники: fortrader.ruВикипедия а также другие материалы из сети Интернет..

Очень интересно, но для тех, кто разбирается в законах финансовых потоков. Жаль, что я ничего в этом не понимаю. Валера, а тебе стоило бы попробовать. Станешь миллионером, купишь большой Остров. Мы приедем к тебе жить. Практичнее способа применения фракталов и не придумаешь! )))))

чтобы стать миллионером, деньги надо любить. а я к ним уж слишком равнодушен... так что песня не моя :)

RSS

Дни рождения

Сегодня дней рождения нет.

НАВИГАЦИЯ ПО САЙТУ

ПОИСК ПО САЙТУ

Подпишись на обновления сайта:


 АВТОРСКИЕ ГРУППЫ